1.2.1 Geometrische Objekte

Punkte und Koordinaten

Wir arbeiten im $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{E}^d$ mit einem festen kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung $O$.

Punkte und Vektoren werden durch Koordinatentupel dargestellt:

$p=(p_1,\dots,p_d),\quad v=(v_1,\dots,v_d)\in\mathbb{R}^d.$

Ein Koordinatentupel $p$ kann man auch als Vektor vom Ursprung $O$ zum Punkt $p$ lesen (Ortsvektor).

Punkte ≠ Vektoren – affine Räume

Kernaussage der Folie

Punkte und Vektoren sind verschiedene Objekte mit verschiedenen Eigenschaften. Weil beide als Koordinatentupel dargestellt werden, sehen sie in dieser Darstellung gleich aus.

Was ist der Unterschied?

• Ein Punkt ist ein Ort („hier“).
• Ein Vektor ist eine Verschiebung bzw. Richtung mit Länge („3 nach rechts, 2 nach oben“). Er hat keinen festen Ort.

Daraus ergeben sich die erlaubten Operationen in einem affinen Raum:

Operation	Ergebnis	Sinnvoll?
Punkt − Punkt	Vektor (Verschiebung von einem Ort zum anderen)	✔
Punkt + Vektor	Punkt (Ort verschieben)	✔
Vektor ± Vektor	Vektor	✔
Zahl · Vektor	Vektor	✔
Punkt + Punkt	–	✘ hängt vom Ursprung ab
Zahl · Punkt	–	✘ hängt vom Ursprung ab

Warum ist Punkt + Punkt sinnlos? Verschiebt man den Ursprung, ändern sich die Koordinaten beider Punkte, und die Summe zeigt dann auf einen anderen Ort. Das Ergebnis ist also nicht geometrisch, sondern ein Artefakt des Koordinatensystems.

Was ist dann erlaubt? Affinkombinationen $\sum_i \lambda_i p_i$ mit $\sum_i\lambda_i = 1$. Die sind vom Ursprung unabhängig. Beispiel: der Mittelpunkt $\tfrac12 p+\tfrac12 q$, oder allgemeiner $(1-\lambda)p+\lambda q$. Genau so sind Strecken und Geraden unten definiert. (Ergänzung)

Beispiele für affine Räume (Tabelle der Folie)

Die Folie zeigt, dass das Prinzip „Punkte und Differenzen davon“ überall vorkommt:

Beispiel	„Punkte“	„Vektoren“ (Differenzen)
Lineare Gleichungssysteme	Lösungen von $Ax=b$ (inhomogen)	Lösungen von $Ax=0$ (homogen)
Differentialgleichungen	Lösungen der inhomogenen DGL	Lösungen der homogenen DGL
Polynome	normierte Polynome vom Grad $n$	Polynome vom Grad $n-1$
Matrizen	Matrizen mit Spur $c\neq 0$	Matrizen mit Spur $0$
Stochastik	stochastische Matrizen / Wahrscheinlichkeitsverteilungen	Matrizen mit Zeilensumme 0 / Änderungen mit Summe 0
Zeit (Physik)	Datum (dd/mm/yyyy)	Dauer
Zeit (Informatik)	Zeitstempel	Dauer
Farbraum	Farbe als RGB-Wert	Farbänderung
Versionsverwaltung	Git-Commits	Patches / Diffs
Zeigerarithmetik	Speicheradresse	Offset

Zum Verstehen: Zwei Daten kann man nicht addieren („1. Mai + 3. Juni“ ist Unsinn), aber subtrahieren (ergibt eine Dauer), und Datum + Dauer ist wieder ein Datum. Genauso in C: ptr2 - ptr1 ist ein Offset (ptrdiff_t), ptr + offset ein Zeiger, aber ptr1 + ptr2 kompiliert nicht. Beim Beispiel LGS gilt: Die Differenz zweier Lösungen von $Ax=b$ löst $Ax=0$, und Lösung von $Ax=b$ plus Lösung von $Ax=0$ ist wieder eine Lösung von $Ax=b$.

Operationen auf Koordinatentupeln

Für $a,b\in\mathbb{R}^d$ und $\lambda\in\mathbb{R}$:

Operation	Definition
Addition	$a+b := (a_1+b_1,\dots,a_d+b_d)$
Skalarmultiplikation	$\lambda\cdot a := (\lambda a_1,\dots,\lambda a_d)$
Skalarprodukt	$a^t\cdot b := a_1b_1+\dots+a_db_d = \lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert\cdot\cos\angle(a,b)$
Euklidische Norm	$\lVert a\rVert := (a^t\cdot a)^{1/2} = \sqrt{a_1^2+\dots+a_d^2}$
Kreuzprodukt (nur $d=3$)	Vektor senkrecht zu $a$ und $b$ mit $\lVert a\times b\rVert = \lVert a\rVert\cdot\lVert b\rVert\cdot\sin\angle(a,b)$
Orthogonalität	$a\perp b \iff a^t\cdot b = 0$

Geometrische Bedeutung

• Skalarprodukt: misst, wie sehr zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Positiv heißt Winkel $<90°$, null heißt senkrecht, negativ heißt Winkel $>90°$. Ist $\lVert b\rVert=1$, dann ist $a^t b$ die Länge der Projektion von $a$ auf $b$.
• Kreuzprodukt: Die Länge $\lVert a\times b\rVert$ ist die Fläche des Parallelogramms, das $a$ und $b$ aufspannen. Die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel.

Das Kreuzprodukt in 2D (wichtig für Kapitel 2)

Bettet man 2D-Vektoren als $(a_x,a_y,0)$ in 3D ein, zeigt $a\times b$ nur in $z$-Richtung:

$a\times b = (0,\ 0,\ a_xb_y - a_yb_x).$

Die Zahl $a_xb_y-a_yb_x = \det\begin{pmatrix}a_x & b_x\\ a_y & b_y\end{pmatrix}$ hat zwei Bedeutungen:

• Ihr Betrag ist die Parallelogrammfläche.
• Ihr Vorzeichen sagt, ob $b$ gegen den Uhrzeigersinn (positiv, „links von $a$“) oder im Uhrzeigersinn (negativ, „rechts von $a$“) von $a$ aus liegt.

Daraus wird im nächsten Abschnitt der Orientierungstest, die zentrale Operation für konvexe Hüllen.

Beispiel: $a=(1,0)$, $b=(0,1)$ ergibt $1\cdot1-0\cdot0 = 1>0$, also liegt $b$ links von $a$ (90° gegen den Uhrzeigersinn). ✔

Strecken und Geraden

Gegeben zwei Punkte $p\neq q$:

• Strecke (line segment): $\overline{pq} := \{(1-\lambda)\cdot p+\lambda\cdot q \mid \lambda\in[0,1]\}$
• Gerade (line): $g := \{(1-\lambda)\cdot p+\lambda\cdot q \mid \lambda\in\mathbb{R}\}$

Erklärung: $(1-\lambda)p+\lambda q = p+\lambda(q-p)$ heißt: Starte bei $p$ und gehe das $\lambda$-fache des Vektors $q-p$. Bei $\lambda=0$ ist man bei $p$, bei $\lambda=1$ bei $q$, bei $\lambda=\tfrac12$ in der Mitte. Für $\lambda\in[0,1]$ bleibt man zwischen $p$ und $q$ (Strecke), für beliebige $\lambda$ läuft man über beide Enden hinaus (Gerade). Beides sind Affinkombinationen, die Koeffizienten summieren sich zu 1.

Zum Ausprobieren: Zieh $p$ und $q$ und verschiebe $\lambda$. Innerhalb von $[0,1]$ bleibt $x$ auf der Strecke, sonst wandert es auf der Geraden darüber hinaus.

λ = 0.35

x = (1 − 0.35)·(4, 3) + 0.35·(10, 5) = (6.1, 3.7)
λ ∈ [0, 1] ⇒ x liegt auf der Strecke p̄q (und damit auch auf der Geraden). · p und q lassen sich ziehen.

Eine gerichtete Strecke $\vec{pq}$ hat zusätzlich eine Richtung von $p$ nach $q$. Erst damit ergibt „links von $\vec{pq}$“ einen Sinn.

Polygonzüge

Ein Polygonzug (polygon chain) der Länge $n$ ist eine Folge von Strecken

$\overline{p_0p_1},\ \overline{p_1p_2},\ \dots,\ \overline{p_{n-1}p_n},$

bei der jede Strecke dort beginnt, wo die vorige endet. Er wird durch die Eckenfolge $p_0,\dots,p_n$ beschrieben.

Ein Polygonzug heißt einfach, wenn er sich nicht selbst schneidet: Nicht benachbarte Strecken haben keinen gemeinsamen Punkt, benachbarte nur den gemeinsamen Eckpunkt.

Polygone

Ein Polygonzug mit $p_0=p_n$, also ein geschlossener Polygonzug, heißt Polygon. Ist der Zug einfach, spricht man von einem einfachen Polygon. Es teilt die Ebene in ein Inneres und ein Äußeres (Jordanscher Kurvensatz).

Die konvexe Hülle in 2D ist so ein einfaches Polygon, und zwar ein konvexes. Deshalb wird sie als geordnete Eckenliste ausgegeben.

Begriff	Bedingung
Polygonzug	Folge verbundener Strecken
einfacher Polygonzug	keine Selbstschnitte
Polygon	geschlossen: $p_0=p_n$
einfaches Polygon	geschlossen und ohne Selbstschnitte
konvexes Polygon	einfach und Inneres konvex (alle Innenwinkel $\le 180°$)