1.1 Maschinenzahlen

Definition (Tafel)

Maschinenzahlen sind die Gleitkommazahlen, die auf einem Rechner exakt darstellbar sind:

$$\mathbb M=\{0\}\;\cup\;\Big\{\pm E^{b}\sum_{i=1}^{N}a_i\,E^{-i}\;\Big|\;a_i\in\{0,1,\dots,E-1\},\;a_1\neq0,\;b\in\mathbb Z,\;b_{\min}\le b\le b_{\max}\Big\}$$

Symbol	Bedeutung	IEEE double
$E$	Basis	$2$
$N$	Anzahl der Mantissenstellen $a_1\dots a_N$	$53$ (52 gespeichert, $a_1=1$ ist implizit)
$b$	Exponent	11 Bit
$b_{\min},b_{\max}$	kleinster / größter Exponent	$\approx -1022$ / $1023$

$N,E,b_{\min},b_{\max}$ werden durch das Computersystem festgelegt.

Die Bedingung $a_1\neq 0$ heißt normalisiert: Die erste Ziffer ist nie 0, damit jede Zahl genau eine Darstellung hat und keine Stelle verschenkt wird.

Beispiel mit $E=10$, $N=3$: $0.123\cdot10^{2}=12.3$ ist eine Maschinenzahl, $12.34$ nicht (vier Stellen).

IEEE double (64 Bit)

64 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 11 Bit Exponent + 52 Bit Mantisse.

Exponent (Tafel): Mit 11 Bit lassen sich ein Vorzeichen und Exponenten von $0$ bis

$2^0+2^1+\dots+2^9=2^{10}-1=1023$

darstellen.

Korrektur zum Aufschrieb

Im Heft steht $2^{10}-1=2023$. Richtig ist $2^{10}-1=1023$.

Wertebereich und Genauigkeit (Tafel): Wegen $2^{1023}\approx10^{308}$ lassen sich mit 64 Bit alle reellen Zahlen im Bereich

$10^{-308}<|x|<10^{308}$

mit einer relativen Genauigkeit von $\text{eps}\approx1.1\cdot10^{-16}$, also etwa 16 Dezimalstellen, darstellen.

Korrektur zum Aufschrieb

Im Heft steht für die relative Genauigkeit $2^{-50}$. Mit 52 gespeicherten Mantissenbits (plus implizite 1) ist die Maschinengenauigkeit beim Runden $\text{eps}=2^{-53}\approx1.1\cdot10^{-16}$, so steht es auch auf 📄 Folie §1/2. Manche Bücher nennen den Abstand von 1 zur nächsten Maschinenzahl, $2^{-52}\approx2.2\cdot10^{-16}$, „eps“ (so z.B. DBL_EPSILON in C). In beiden Fällen: rund 16 Dezimalstellen.

Ergänzung: so ist IEEE 754 wirklich aufgebaut

Der Exponent wird nicht mit Vorzeichenbit gespeichert, sondern mit Bias 1023: gespeichert wird $b+1023\in\{1,\dots,2046\}$. Die Werte $0$ und $2047$ sind für Sonderfälle reserviert (Null und subnormale Zahlen bzw. $\pm\infty$ und NaN). Die Idee aus der Vorlesung („ein Bit für das Vorzeichen, zehn für den Betrag, also bis $\approx1023$“) liefert dieselbe Größenordnung.

Das Problem: $\mathbb M$ ist nicht abgeschlossen

$x,y\in\mathbb M\quad\text{aber}\quad x+y\notin\mathbb M\quad\text{(im Allgemeinen)}.$

Beispiel ($E=10$, $N=3$): $x=1.23$ und $y=0.00456$ sind Maschinenzahlen, $x+y=1.23456$ hat zu viele Stellen. Dasselbe gilt für $x\cdot y$, $x/y$, $\sqrt x$, $\ln x$, …

Rechenmodell (Tafel)

Für die auf $\mathbb M$ ausgeführten Operationen $+,-,\cdot,\div,\exp,\dots$ wird das korrekte Ergebnis auf die nächstgelegene Maschinenzahl gerundet:

$$\begin{aligned} z = x+y &\;\longrightarrow\; \tilde z=\operatorname{rd}(x+y),\\ z = \ln(x) &\;\longrightarrow\; \tilde z=\operatorname{rd}(\ln(x)). \end{aligned}$$

Der Rundungsfehler ist dabei relativ beschränkt:

$\operatorname{rd}(x)=x\,(1+\tau_x),\qquad|\tau_x|\le\text{eps}.$

$\tau_x$ heißt relativer Darstellungsfehler. Das ist das Modell, mit dem man in 1.2 weiterrechnet.

Beispiel: $5/9$ in double (Folie §1/2)

$x=5/9=0.5555\ldots$ wird zu $\operatorname{rd}(x)=x(1+\tau_x)=0.\underbrace{5\ldots5}_{15}abcd\ldots$ Die erste unsichere Stelle ist die 16. Ziffer $a$. Wie unsicher?

$|\operatorname{rd}(x)-x|=|a.bcd\ldots-5.555\ldots|\cdot10^{-16}=|x\,\tau_x|\le0.56\cdot1.1\cdot10^{-16}\approx0.7\cdot10^{-16}.$

Also $5.555\ldots-0.7\le a.bcd\ldots\le5.555\ldots+0.7$, d.h. $4.85\ldots\le a.bcd\ldots\le6.25\ldots$

⇒ Die 16. Ziffer kann nur 4, 5 oder 6 sein. Bis zur 15. Stelle ist alles sicher.

Beispiel: Assoziativität geht verloren (Folie §1/3)

Mit $E=10$, $N=16$. Mathematisch sind alle vier Zeilen gleich $137$:

Rechnung (links nach rechts)	Ergebnis
$10^{20}+17-10+130-10^{20}$	$0$
$10^{20}+17-10^{20}-10+130$	$120$
$10^{20}-10^{20}+17-10+130$	$137$ ✔
$10^{20}+17+130-10^{20}-10$	$-10$

Warum? $10^{20}+17=100\,000\,000\,000\,000\,000\,017$ hat 21 Stellen. Mit 16 Stellen wird daraus wieder $10^{20}$, die $17$ ist weg. Dasselbe passiert mit $-10$ und $+130$. Sobald $10^{20}$ im Zwischenergebnis steckt, werden alle kleinen Summanden „verschluckt“. Erst nach $-10^{20}$ zählen sie wieder.

• Zeile 1: alles bis $-10^{20}$ wird verschluckt ⇒ $0$.
• Zeile 2: $17$ verschluckt, danach $-10+130=120$.
• Zeile 3: die großen Zahlen heben sich zuerst auf ⇒ exakt.
• Zeile 4: $17$ und $130$ verschluckt, nur $-10$ überlebt.

Faustregel

Beim Summieren erst die kleinen Beträge zusammenzählen, dann die großen. Noch besser: große Zahlen mit entgegengesetztem Vorzeichen zuerst verrechnen.

Konsequenzen (Tafel)

• Assoziativität von $+$ und $\cdot$ ist verletzt: $(a+b)+c\neq a+(b+c)$ am Rechner. Ebenso das Distributivgesetz.
• Es ist sehr schwierig, auftretende Rundungsfehler exakt zu beschreiben.
• ⇒ Man begnügt sich mit der Größenordnung der Fehler. Genau das macht die Fehlerfortpflanzung.